【POD】リー代数の最高施設 下巻( Pod ) Rii Daisuu No Saikou Shisetsu Gekan

上巻の最後の一段で、私たちはピーター–ワイルの定理にたどり着きました。そこまでで建った建物には、はっきりとした輪郭があります。有限次元であること。係数体が複素数体であること。そして半単純であること。この三条件のもとで、リー理論は完成しています。 けれど、完成した建物の前に立つと、必ず一つの問いが立ち上がります。その三つの条件は、いったいどれくらい効いていたのか。一つ外したら、何が壊れるのか。そして、壊れた場所に、新しい何かが生えてはこないか。 本書『リー代数の最高施設　下巻』は、この問いに二十七章をかけて答える、全9編の教科書です。 「半単純」を外します。コホモロジーという道具を建て、ホワイトヘッドの第一・第二補題からレヴィ分解へ。行き着く先は剛性ーー半単純リー代数は、どう摂動しても動かないという定理です。 「有限次元」を外します。カルタン行列から正定値性だけを落とすと、同じ手続きがカッツ–ムーディ代数を生みます。円周上のベクトル場を中心拡大すればヴィラソロ代数が現れ、代数の元を「場」に取り替えれば頂点作用素代数が現れます。行き着く先は、モンスター群とモジュラー関数を結ぶムーンシャインです。 「複素」を外します。余積を q で変形して量子群へ、q→0 の極限で結晶基底へ。符号を一つ入れれば超リー代数が、係数を有限体やアデール環へ取り替えればラングランズ・プログラムが開きます。ここに、表現を空間の上の層として作り直す編と、すべてを携えて可積分系・共形場理論へ出る編が加わって、九編になります。 下巻は一本道ではありません。九つの編はそれぞれ独立した小さな建物で、興味のある編から読み始められます。それでも、どの扉から入っても必ず同じものに出会います。sl(2) です。上巻で「実家」と呼んだあの三次元の代数は、下巻でも実家のままでした。 各章の末尾には「手を動かして確かめる」と「よくあるつまずき」の節を置きました。下巻の難しさは、知らない言葉が一度にたくさん出てくるという難しさです。それは、慣れで越えられます。 小さな定義が、遠くまで運んでくれます。扉の向こうに広がる景色を、ぜひご一緒に見に行きましょう。