【POD】複素関数論の最高施設 第2巻 コーシーの定理とべき級数( Pod ) Fukusokansuuron No Saikou Shisetsu Dai 2 Kan Kooshii No Teiri Tobeki Kyuusuu

『複素関数論の最高施設』は、複素関数論を基礎から現代への入口まで積み上げていく全五分冊のシリーズです。本巻はその第2巻、複素積分の導入からべき級数論までを扱います。 前半の第3編は、複素線積分を定義するところから始まります。道と長さ、ML不等式、原始関数と経路独立性を整えたうえで、素朴な証明の限界を正面から見つめ、グルサの定理へ進みます。微分可能性という仮定だけから三角形上の積分が消えるーーこの一点が理論全体の要石です。そこから凸領域・星形領域のコーシーの定理、回転数、そして円板に対するコーシーの積分公式へ。一度微分できれば何度でも微分できるという驚くべき事実が、たった一本の公式から流れ出します。リウヴィルの定理、代数学の基本定理、モレラの定理を経て、ホモトピー版・ホモロジー版の一般形、単連結領域の特徴づけと対数の存在まで到達します。 後半の第4編の主題は、「正則である」と「べき級数に展開できる」が同じことだ、という一点に尽きます。収束半径とコーシー–アダマールの公式、項別微分、テイラー展開、コーシーの評価式、零点の位数と局所因数分解。さらに零点の孤立性から一致の定理へ進み、実解析の等式をそのまま複素の世界へ延長する恒等式の原理を手にします。締めくくりは開写像定理・最大値原理・シュワルツの補題、そして単位円板の自己同型群です。 シリーズの流儀として、定義の前には必ずその動機を語り、証明には型を先に示し、抽象と具体のあいだを何度も往復します。本巻には《例》265個（うち反例86個）、直観を語る〔情緒〕104個、定義32個、定理・命題・系・補題244個と証明246個を収めました。反例は、仮定を一つ外したときに何が壊れてしまうのかを、実際に目で見ていただくために置いています。 章や定理の番号は全五分冊を通した通し番号です。前提知識は微分積分と線形代数の初歩に加えて、第1巻で整えた複素平面の位相と正則関数の基本性質。必要な準備はすべて本書の中で用意しています。深い定理を「認める」で済ませることはせず、完全に証明できる特殊ケースを詳述するか、核心の証明スケッチを与えるかして、必ず骨を通しました。理論の心臓が動き出す瞬間を、ご一緒に見届けましょう。