【POD】フーリエ解析の最高施設 上巻( Pod ) Fuurie Kaiseki No Saikou Shisetsu Joukan

複雑なものを単純な波の重ね合わせに分解し、成分ごとに考えるーーフーリエ解析は、この素朴な着想を関数に対して最後まで押し進めた理論です。十八世紀の弦の振動論争に始まり、フーリエの熱の理論を経て、関数・積分・収束という解析学の基本概念そのものを作り変えてきました。 本書は上下二巻からなる『フーリエ解析の最高施設』の上巻です。円周上のフーリエ級数論を、リーマン積分と一様収束という微分積分の初歩の道具だけで、最初の疑問から病理の果てまで追い切ります。まず熱と波の方程式から三角級数が必要になった歴史の順路をたどり、実数の完備性・級数・一様収束・リーマン積分という語彙を整え直します。そのうえで、三角関数系の直交性と係数の公式、二乗平均の最良近似とベッセルの不等式、ディリクレ核による各点収束の理論から始め、ギブス現象の行き過ぎを小数の桁まで計算し、フェイエールの定理とポアソン核で総和法を整え、連続関数で発散するフーリエ級数を構成します。さらに有界変動関数とリーマン・スティルチェス積分、ベルヌーイ多項式によるゼータ値の完全決定、三角多項式近似と数値計算、カントールが集合論を生んだ三角級数の一意性問題、ラクナリ級数、概周期関数まで進みます。全十五章、ルベーグ積分を一切使わずにここまで到達できることが、上巻の主張です。 道具を限るのは、その道具がどこまで届き、どこで力尽きるのかを自分の目で確かめるためです。上巻は、二乗平均の舞台が完備でないこと、例外集合の大きさを測る道具がないこと、周期を外したとき級数が何に化けるのか見えないことーーこの三つの壁をはっきり示して幕を閉じ、ルベーグ積分とフーリエ変換を扱う下巻へ橋を架けます。 定義の前には必ず「なぜその概念が要るのか」を語り、〔情緒〕の囲みで直観を、415個の《例》で仮定の意味を確かめます。定理には原則として完全な証明を付しました。数学の本で省かれがちなのは証明ではなく、証明を思いつくまでの気持ちのほうです。本書はその気持ちを言葉にすることに力を注ぎました。高校数学と微分積分の初歩だけを前提に、波の重ね合わせという一つの発想が解析学全体を貫いていく景色を、一歩ずつ味わっていただければ幸いです。