【POD】数学基礎論の最高施設 上巻( Pod ) Suugakukisoron No Saikou Shisetsu Joukan

「数学そのものを、数学の対象にできないか。」十九世紀末、集合論から噴き出したパラドクスを前に生まれたこの問いが、数学基礎論（数理論理学）の出発点です。証明とは何か、真理とは何か、「計算できる」とはどういうことかを、直観にゆだねず数学的に定義し、数学の道具で分析するのです。本書は「最高施設」シリーズの一冊として、この問いに挑む道のりを上下二巻で描きます。上巻『論理・モデル・計算』の役目は、限界を測るための道具をつくることです。 第1編では数学の危機と三つの応答をたどり、構文論と意味論を切り分ける「形式体系」という発明を示すとともに、集合・写像・可算性・対角線論法を自前で整えます。第2編・第3編では命題論理と一階述語論理を組み立て、記号操作としての「証明できる」と、タルスキの充足定義による「真である」を別々に定義したうえで、両者が一致するというゲーデルの完全性定理に到達します。第4編では、一つの理論が似ても似つかぬ複数のモデルを許す現象を、レーヴェンハイム゠スコーレムの定理、超準モデル、量化子消去、超積とウォシュの定理を通して調べます。第5編ではチューリング機械と部分再帰関数で「計算できる」を厳密に定義し、停止問題が解けないことを証明して、チューリング次数の階層をのぞきます。 本書は他の書物を前提としません。定義を述べる前には、その概念がなぜ必要なのかを必ず語り、〔情緒〕の囲みで直観を共有します。証明は方針を先に示してから細部へ進み、例と反例で仮定の役割を確かめます。想定する読者は、大学で集合と写像の初歩に触れた方です。数学を学ぶ方はもちろん、情報科学や哲学から論理に関心をもつ方にも読んでいただけます。各編の冒頭には目指すものと土台を述べる節を、各章の末尾にはまとめを置きました。 上巻だけでも、形式体系から完全性定理、計算不可能性までを見渡す一つの完結した入門として読めます。同時に、対角線論法、コンパクト性定理、超積、停止問題は、下巻で不完全性定理や独立性証明を組み立てる部品にもなります。証明と真理が一致する喜びと、計算の限界に触れる驚きを味わいながら、数学を映す鏡をご自分の手で磨き上げてください。